【解析几何】准线与焦点

在学习圆锥曲线的过程中，我们必然会遇到诸多有关焦点这个特殊点的题目。比如下面这道：

\text{设}F_1,F_2\text{分别为椭圆}\frac{x^2}{3}+y^2=1\text{的左、右焦点，点}A,B\\\text{在椭圆上，若}\overrightarrow{F_1A}=5\overrightarrow{F_2B},\text{则点A的坐标是}()

看到这里，很多同学可能就会选择联立求解，如下。

解法一：

\text{由于对称性将}\overrightarrow{F_2B}\text{平移到左焦点，设}A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\\\text{由于直线}AB_1\text{过左焦点，故设}\text{直线} AB_1:x=my-\sqrt{2}.\\\text{联立} \begin{cases} x=my-\sqrt{2}\\ x^2+3y^2=3 \end{cases} \Longrightarrow(my-\sqrt{2})^2+3y^2=3

\text{则} \begin{cases} y_1=-5y_2\\ y_1+y_2=-\frac{2\sqrt{2}m}{m^2+3}\\ y_1y_2=-\frac{1}{m^2+1} \end{cases} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} y_1=-\frac{m}{\sqrt{2}(m^2+3)} \\ y_2=\frac{5m}{\sqrt{2}(m^2+3)}\\ \end{array} \right. \Rightarrow\frac{5m^2}{2(m^2+3)}=1 \Rightarrow m=\pm\sqrt{2}\\ \text{所以点}A(0,\pm1)

在这里看起来很简单，但计算量还是不小的。

考虑到 $AB_1$ 是椭圆的焦点弦，我们可以利用焦半径公式。这里就不得不提到圆锥曲线的统一定义了。

圆锥曲线的统一定义：到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$ 的距离（ $F$ 不在 $l$ 上）的比 $e$ 是常数的点的轨迹叫作圆锥曲线。

\text{如图，椭圆}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,F_1,F_2\text{为其左右焦点，}\\\text{直线}l:x=-\frac{a^2}{c}\text{为其左准线,}AC\bot l,\text{则有}\mid AF_1\mid=e\mid AC\mid

实际上这也很好“证明”~~（证明一个“定义”有种儿子生爸爸矛盾了）~~

\text{设点}A(x_0,y_0),\text{则}|AF_1|=\sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2}=\sqrt{(1-\frac{b^2}{a^2})x_0^2+2cx_0+c^2+b^2}\\=\frac{1}{a}\sqrt{c^2x_0^2+2ca^2x_0+a^4}=\frac{1}{a}\sqrt{(cx_0+a^2)}=a+ex_0\\ \text{而}|AC|=x_0+\frac{a^2}{c}=\frac{ex_0+a}{e}=\frac{|AF_1|}{e}

一般来说课本内容或一些资料就到此为止了，而我们学习抛物线时会有这么一个结论：

AB\text{是过抛物线}y^2=2px\text{的一条直线，F为抛物线焦点，}\\\text{A在x轴上方，}\theta\text{为直线AB的倾斜角，则有}\\ |AF|=\frac{p}{1-\cos\theta},|BF|=\frac{p}{1+\cos\theta}\\ |AB|=\frac{2p}{\sin^2\theta},\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}

那么是不是所有圆锥曲线都有类似性质呢，根据圆锥曲线统一定义我们推断这肯定是存在的。

\text{如上图，对于一个椭圆，设AB的倾斜角为}\alpha,|AF_1|=m,\text{则}|AE|=m\cos\alpha \\|AC|=\frac{a^2}{c}-c+m\cos\alpha=\frac{am}{c}\Longrightarrow m=\frac{b^2}{a-c\cos\alpha}, \text{即}|AF_1|=\frac{b^2}{a-c\cos\alpha} \text{同理可得}|BF_1|=\frac{b^2}{a+c\cos\alpha}\\ |AB|=\frac{2ab}{a^2-c^2\cos^2\alpha},\frac{1}{|AF_1|}+\frac{1}{|BF_1|}=\frac{2a}{b^2}\\ \text{同理，对于双曲线}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\text{过其左焦点F的直线AB，有}\\ |AF|=\frac{b^2}{a+c\cos\alpha} ,|BF|=\frac{b^2}{a-c\cos\alpha},|AB|=\frac{2ab}{a^2-c^2\cos^2\alpha} ,\frac{1}{|AF_1|}+\frac{1}{|BF_1|}=\frac{2a}{b^2}\\ \text{注意AB交于双曲线左支，所以}|\cos\alpha|\leq\frac{a}{c}

利用该结论，再看上面那道题：

\text{设}F_1,F_2\text{分别为椭圆}\frac{x^2}{3}+y^2=1\text{的左、右焦点，}\\\text{点}A,B\text{在椭圆上，若}\overrightarrow{F_1A}=5\overrightarrow{F_2B},\text{则点A的坐标是}()

解法二：

|F_1A|=5|F_1B_1|\Longrightarrow\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}\cos\theta}=\frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{2}\cos\theta}\Longrightarrow\cos\theta=\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{c}{a}\\ \therefore A(0,\pm1)

这样计算甚至降到了口算量级，下面我们再来看这样一道题。

\text{设点P为椭圆C：}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}2=1\text{上任意一点，过两焦点}F_1,F_2\text{的弦分别为PA,PB,设}\\\overrightarrow{PF_1}=\lambda_1\overrightarrow{F_1A},\overrightarrow{PF_2}=\lambda_2\overrightarrow{F_2B},\text{问}\lambda_1+\lambda_2\text{是否是定值，并证明}

这里我们直接利用焦点弦结论

\because\frac{1}{|AF_1|}+\frac{1}{|PF_1|}=\frac{1+\lambda_1}{|PF_1|}=\frac{2a}{b^2}=\sqrt{6},\frac{1}{|AF_2|}+\frac{1}{|PF_2|}=\frac{1+\lambda_2}{|PF_2|}=\frac{2a}{b^2}=\sqrt{6}\\\therefore\sqrt{6}(|PF_1|+|PF_2|)=2+\lambda_1+\lambda_2=2\times6=12 \\\therefore\lambda_1+\lambda_2=10

几乎是“秒杀”，那么我们来看一道高考题。

\text{已知椭圆}\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\text{的左右焦点分别为}F_1，F_2\text{,过点}F_1\text{的直线交椭圆于B,D两点，过点}\\F_2\text{的直线交椭圆于A,C两点，且}AC\bot BD,\text{垂足为P,求四边形ABCD的面积最小值。}

\text{设AC,BD的倾斜角分别为}\alpha,\beta,\text{看到垂直的条件，我们不妨设}\alpha=\beta+\frac{\pi}{2}\\\text{那么}\cos\alpha=-\sin\beta\\\text{所以}S=\frac{1}{2}|AC||BD|=\frac{2a^2b^4}{(a^2-c^2\cos^2\beta)(a^2-c^2\sin^2\beta)}\\=\frac{24}{6+\frac{1}{4}sin^22\beta}\\\leq\frac{96}{25}

此外利用好点到焦点焦点和点到准线还能处理一些角的问题，如下。

\text{已知抛物线}y^2=2px(p>0)\text{的焦点为F，准线为l，l与x轴交点为M,过点F的直线AB交抛物线于AB两点}\\A\text{在x轴上方,}∠AMB=\frac{\pi}{3},|AF|=\sqrt{2}+\sqrt{3}，\text{试求抛物线方程.}

\text{如图设}\angle AMF=\varphi,\text{直线AB的倾斜角为}\beta, \text{则有}\sin\beta=\frac{CM}{AF}=\frac{CM}{AC}=\tan\varphi \\\text{同理}\sin\beta=\tan\angle BMF,\text{所以}\angle AMF=\angle BMF \\\therefore\sin\beta=\frac{\sqrt{3}}{3},|AF|=\frac{p}{1-\cos\beta}=\sqrt{2}+\sqrt{3} \\\text{解得：}p=\frac{\sqrt{3}}{3},\text{所以抛物线方程为：}y^2=\frac{2\sqrt{3}}{3}x

同样椭圆双曲线也有类似结论，证明也很简单，大家不妨自行尝试推导。

在圆锥曲线部分，有关焦点的问题可以说是俯拾即是，利用上述结论可以迅速解决大部分这类问题，节省大量时间，但同时不要忘记对于基础联立韦达的解法对一般情况进行求解，否则遇到非焦点问题可就是“提笔四顾心茫然”，感谢您的阅读，希望这篇文章能够帮助到你。

本文作者：Rhonsua

本文链接：https://yurchiu.github.io/2024/08/06/%E3%80%90%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%87%A0%E4%BD%95%E3%80%91%E5%87%86%E7%BA%BF%E4%B8%8E%E7%84%A6%E7%82%B9/

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最后更新：2024-08-06, 19:16:50

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